Sinus, kosinus, tangens va kotangens - matematikadan yagona davlat imtihonida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa (2020). Sinus, kosinus, tangens va kotangens - matematika bo'yicha yagona davlat imtihonida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa (2020) Ta'riflar va qiymatlar, o'sish, pasayish sohalari

Ushbu maqolada biz har tomonlama ko'rib chiqamiz. Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasida bog'lanishni o'rnatadigan va ma'lum bo'lgan boshqasi orqali ushbu trigonometrik funktsiyalardan istalgan birini topishga imkon beruvchi tenglikdir.

Keling, ushbu maqolada tahlil qiladigan asosiy trigonometrik identifikatsiyalarni darhol sanab o'tamiz. Keling, ularni jadvalga yozamiz va quyida biz ushbu formulalarning natijasini beramiz va kerakli tushuntirishlarni beramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Bir burchakning sinusi va kosinusu o'rtasidagi bog'liqlik

Ba'zan ular yuqoridagi jadvalda keltirilgan asosiy trigonometrik identifikatsiyalar haqida emas, balki bitta bitta haqida gapirishadi asosiy trigonometrik identifikatsiya mehribon . Bu faktni tushuntirish juda oddiy: asosiy trigonometrik identifikatsiyadan uning ikkala qismini mos ravishda va ga bo'lingandan keyin tenglik va tenglik olinadi. Va sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqing. Bu haqda keyingi paragraflarda batafsilroq gaplashamiz.

Ya'ni, asosiy trigonometrik o'ziga xoslik nomini olgan tenglik alohida qiziqish uyg'otadi.

Asosiy trigonometrik o'ziga xoslikni isbotlashdan oldin, biz uning formulasini beramiz: bir burchakning sinusi va kosinasi kvadratlarining yig'indisi bir xil bo'ladi. Endi buni isbotlaylik.

Asosiy trigonometrik identifikatsiya qachon juda tez-tez ishlatiladi trigonometrik ifodalarni aylantirish. Bu bir burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirish imkonini beradi. Ko'pincha, asosiy trigonometrik identifikatsiya teskari tartibda qo'llaniladi: birlik har qanday burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bilan almashtiriladi.

Sinus va kosinus orqali tangens va kotangens

Tangens va kotangensni bir ko'rish burchagining sinus va kosinus bilan bog'lovchi identifikatsiyalari va sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan darhol amal qiling. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, sinus - y ning ordinatasi, kosinus - x ning abssissasi, tangens - ordinataning abscissaga nisbati, ya'ni. , kotangens esa abtsissaning ordinataga nisbati, ya’ni .

Shaxslarning bunday ravshanligi tufayli va Tangens va kotangens ko'pincha abscissa va ordinataning nisbati orqali emas, balki sinus va kosinus nisbati orqali aniqlanadi. Demak, burchakning tangensi sinusning bu burchakning kosinusiga nisbati, kotangens esa kosinusning sinusga nisbatidir.

Ushbu bandning yakunida shuni ta'kidlash kerakki, identifikatsiyalar va Ularga kiritilgan trigonometrik funktsiyalar mantiqiy bo'lgan barcha burchaklar uchun sodir bo'ladi. Shunday qilib, formula har qanday , boshqasi uchun amal qiladi (aks holda maxraj nolga ega bo'ladi va biz nolga bo'linishni aniqlamadik) va formula - hamma uchun , dan farq qiladi, bu erda z har qanday.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

Oldingi ikkitasiga qaraganda aniqroq trigonometrik o'ziga xoslik bu shaklning bir burchagining tangensi va kotangensini bog'laydigan o'ziga xoslikdir. . dan boshqa har qanday burchaklar uchun amal qilishi aniq, aks holda tangens yoki kotangens aniqlanmaydi.

Formulaning isboti juda oddiy. Ta'rif bo'yicha va qaerdan . Tasdiqlash biroz boshqacha tarzda amalga oshirilishi mumkin edi. beri , Bu .

Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir xil burchakning tangensi va kotangensi .

Asl manba joylashgan. Alpha haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi ifodalardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Agar biz cheksiz natural sonlar to'plamini misol qilib olsak, ko'rib chiqilayotgan misollarni quyidagi shaklda ko'rsatish mumkin:

Ularning to'g'ri ekanligini aniq isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni o'ylab topishdi. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqs tushishi kabi qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo ba'zi xonalar band bo'lmagani va yangi mehmonlar ko'chib o'tayotgani yoki mehmonlarning ba'zilari mehmonlarga joy berish uchun (juda insoniy) koridorga uloqtirilgani bilan bog'liq. Men bunday qarorlar bo'yicha o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Mehmon uchun birinchi xonani bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasida bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh yotoqlari bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz "mehmon" koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmon" xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Qolaversa, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: har doim bitta Xudo-Alloh-Budda bor, faqat bitta mehmonxona bor, faqat bitta yo'lak bor. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar va bizni "mumkin bo'lmagan narsaga o'tish" mumkinligiga ishontirishmoqda.

Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz raqamlarni o'zimiz ixtiro qilganmiz; raqamlar tabiatda mavjud emas. Ha, Tabiat hisoblashda zo'r, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiatning fikrini boshqa safar sizga aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami borligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimlarga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.

Birinchi variant. Tokchada tinchgina yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Muammosiz. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan birini olib, qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Men harakatlarni algebraik yozuvda va to‘plam nazariyasi yozuvida, to‘plam elementlarining batafsil ro‘yxati bilan yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plami mavjudligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plami undan bitta ayirilsa va bir xil birlik qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizning javonimizda ko'plab cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Keling, ushbu to'plamlardan birini olaylik. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Buni olamiz:

"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga boshqa cheksiz to‘plam qo‘shsangiz, natijada birinchi ikki to‘plamning elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.

Natural sonlar to'plami o'lchash uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu asl chiziqqa teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.

Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikrlash yo'lidan ketyapsizmi, deb o'ylab ko'ring. Zero, matematikani o‘rganish, eng avvalo, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina aqliy qobiliyatimizni oshiradi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil

Men maqolaning postscriptini tugatayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi".

Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, men shaxsan quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asosi yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.

Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va qoidalarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men bir qator nashrlarni zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

Shanba, 3-avgust, 2019-yil

To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Bu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf bilan belgilaylik. A, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning seriya raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jins" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jinsga asoslangan b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "gender xususiyatlariga ega odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri - erkak yoki ayol. Agar odamda bo'lsa, biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz oddiy maktab matematikasidan foydalanamiz. Qarang, nima bo'ldi.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamga ega bo'ldik: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw. Matematiklar to'plamlar nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarni aytmaydilar, lekin yakuniy natijani beradilar - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning bir qismidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin: yuqorida ko'rsatilgan o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llanilgan? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, o'zgartirishlar mohiyatan to'g'ri amalga oshirildi, buning uchun arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa bo'limlarining matematik asoslarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.

Supersetlarga kelsak, ushbu ikkita to'plamning elementlarida mavjud o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.

Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va oddiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishning yodgorligiga aylantiradi. To'plamlar nazariyasida hamma narsa yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to'plamlar nazariyasi uchun o'z tillari va yozuvlarini o'ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar kabi harakat qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadi.

Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishlarini ko'rsatmoqchiman.

Dushanba, 7-yanvar, 2019-yil

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar shu kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati bo‘yicha umumiy fikrga kela olmadi... masalani o‘rganishga matematik tahlil, to‘plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb etildi. ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.

Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil

Men sizga aytdimki, qaysi shamanlar haqiqatni "" saralashga harakat qilishadi. Ular buni qanday qilishadi? To'plamning shakllanishi aslida qanday sodir bo'ladi?

Keling, to'plamning ta'rifini batafsil ko'rib chiqaylik: "bir butun sifatida o'ylab topilgan turli elementlarning to'plami". Endi ikkita ibora o'rtasidagi farqni his qiling: "bir butun sifatida tasavvur qilish mumkin" va "butun holda tasavvur qilish mumkin". Birinchi ibora - yakuniy natija, to'plam. Ikkinchi ibora - ko'pchilikni shakllantirish uchun dastlabki tayyorgarlik. Ushbu bosqichda voqelik alohida elementlarga ("butun") bo'linadi, undan keyin ko'pchilik ("yagona butun") hosil bo'ladi. Shu bilan birga, "butun" ni "yagona bir butun" ga birlashtirishga imkon beradigan omil diqqat bilan kuzatiladi, aks holda shamanlar muvaffaqiyatga erisha olmaydi. Axir, shamanlar bizga qanday to'plamni ko'rsatishni xohlashlarini oldindan bilishadi.

Men sizga jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng, biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining to'plam nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali oziq-ovqatlarini shunday olishadi.

Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "kamon bilan pimple bilan qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butunlarni" rangga ko'ra birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi yakuniy savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'ladi.

Bu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plam nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "pimple va kamon bilan qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligida sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimply), bezak (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu shunday ko'rinadi.

Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Dastlabki bosqichda "butun" ajralib turadigan o'lchov birliklari qavs ichida ta'kidlangan. Qavs ichidan to‘plam hosil bo‘ladigan o‘lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plam elementi. Ko'rib turganingizdek, to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqsga tushishi emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishlari mumkin, bu "aniq" ekanligini ta'kidlaydilar, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenalining bir qismi emas.

O'lchov birliklaridan foydalanib, birini buzish juda oson
Bugungi kunda biz qabul qilmagan hamma narsa ma'lum bir to'plamga tegishli (matematiklar bizni ishontirganidek). Aytgancha, peshonangizdagi oynada o'zingiz tegishli bo'lgan to'plamlar ro'yxatini ko'rdingizmi? Va men bunday ro'yxatni ko'rmaganman. Ko'proq aytaman - aslida biron bir narsada bu narsa tegishli bo'lgan to'plamlar ro'yxati ko'rsatilgan teg yo'q. To'plamlarning barchasi shamanlarning ixtirolaridir. Ular buni qanday qilishadi? Keling, tarixga biroz chuqurroq qaraylik va matematik shamanlar ularni o'z to'plamlariga olishdan oldin to'plam elementlari qanday ko'rinishga ega bo'lganini ko'rib chiqaylik.

Uzoq vaqt oldin, hech kim matematika haqida eshitmagan va faqat daraxtlar va Saturn halqalariga ega bo'lganida, to'plamlarning yovvoyi elementlarining ulkan podalari jismoniy maydonlarni kezib yurgan (oxir-oqibat, shamanlar hali matematik maydonlarni ixtiro qilmagan). Ular shunday ko'rinishga ega edilar.

Ha, hayron bo'lmang, matematika nuqtai nazaridan, to'plamlarning barcha elementlari dengiz kirpilariga juda o'xshash - bir nuqtadan, ignalar kabi, o'lchov birliklari barcha yo'nalishlarda chiqib turadi. Men sizga eslatib o'tamanki, har qanday o'lchov birligi geometrik ravishda ixtiyoriy uzunlik segmenti, raqam esa nuqta sifatida ifodalanishi mumkin. Geometrik jihatdan har qanday miqdor bir nuqtadan turli yo'nalishlarda chiqib turadigan segmentlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu nuqta nol nuqtadir. Men bu geometrik san'at asarini chizmayman (ilhom yo'q), lekin siz buni osongina tasavvur qilishingiz mumkin.

Qanday o'lchov birliklari to'plam elementini tashkil qiladi? Berilgan elementni turli nuqtai nazardan tavsiflovchi barcha turdagi narsalar. Bu ota-bobolarimiz ishlatgan va hamma uzoq vaqt unutgan qadimiy o'lchov birliklari. Bu biz hozir ishlatadigan zamonaviy o'lchov birliklari. Bular ham bizga noma'lum bo'lgan o'lchov birliklari bo'lib, ularni avlodlarimiz o'ylab topadilar va ular haqiqatni tasvirlash uchun foydalanadilar.

Biz geometriyani saralab oldik - to'plam elementlarining tavsiya etilgan modeli aniq geometrik tasvirga ega. Fizika haqida nima deyish mumkin? O'lchov birliklari matematika va fizika o'rtasidagi bevosita bog'liqlikdir. Agar shamanlar o'lchov birliklarini matematik nazariyalarning to'liq elementi sifatida tan olmasalar, bu ularning muammosi. Shaxsan men matematikaning haqiqiy fanini o'lchov birliklarisiz tasavvur qila olmayman. Shuning uchun to'plamlar nazariyasi haqidagi hikoyaning boshida men uning tosh asrida bo'lganini aytdim.

Ammo keling, eng qiziqarli narsaga - to'plamlar elementlari algebrasiga o'tamiz. Algebraik jihatdan to’plamning har qanday elementi har xil miqdorlarning ko’paytmasi (ko’paytirish natijasi) bo’ladi.Bu shunday ko’rinadi.

Men ataylab to'plam nazariyasining konventsiyalaridan foydalanmadim, chunki biz to'plamning elementini uning tabiiy muhitida to'plam nazariyasi paydo bo'lishidan oldin ko'rib chiqamiz. Qavslar ichidagi har bir juft harf harf bilan ko'rsatilgan raqamdan iborat alohida miqdorni bildiradi. n"va o'lchov birligi" harfi bilan ko'rsatilgan a". Harflar yonidagi indekslar raqamlar va o'lchov birliklari har xil ekanligini ko'rsatadi. To'plamning bir elementi cheksiz miqdordagi miqdorlardan iborat bo'lishi mumkin (biz va bizning avlodlarimiz qanchalik tasavvurga ega). Har bir qavs geometrik tarzda tasvirlangan. alohida segment.Dengiz kirpisi misolida bitta qavs bitta igna.

Shamanlar qanday qilib turli elementlardan to'plam hosil qiladi? Aslida, o'lchov birliklari yoki raqamlar bo'yicha. Matematika haqida hech narsani tushunmay, ular turli xil dengiz kirpilarini olib, o'sha bitta ignani qidirishda ularni sinchkovlik bilan tekshiradilar va ular bo'ylab to'plam hosil qiladilar. Agar shunday igna bo'lsa, u holda bu element to'plamga tegishli, agar bunday igna bo'lmasa, bu element ushbu to'plamdan emas. Shamanlar bizga fikrlash jarayonlari va butunligi haqida ertak aytib berishadi.

Siz taxmin qilganingizdek, bir xil element juda boshqacha to'plamlarga tegishli bo'lishi mumkin. Keyin men sizga to'plamlar, kichik to'plamlar va boshqa shamanik bema'niliklarning qanday shakllanishini ko'rsataman.

Leksiya: Ixtiyoriy burchakning sinus, kosinus, tangensi, kotangensi

Ixtiyoriy burchakning sinusi, kosinasi

Trigonometrik funktsiyalar nima ekanligini tushunish uchun radiusi birlik bo'lgan doirani ko'rib chiqaylik. Bu doira koordinata tekisligida koordinata boshida markazga ega. Berilgan funksiyalarni aniqlash uchun radius vektoridan foydalanamiz YOKI, aylananing markazidan boshlanadigan va nuqta R aylanadagi nuqtadir. Ushbu radius vektori o'q bilan alfa burchak hosil qiladi OH. Doira birga teng radiusga ega bo'lgani uchun OR = R = 1.

Agar nuqtadan R o'qga perpendikulyar pastga tushiring OH, keyin gipotenuzasi birga teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz.

Agar radius vektori soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilsa, u holda bu yo'nalish deyiladi salbiy, agar u soat miliga teskari harakat qilsa - ijobiy.

Burchakning sinusi YOKI, nuqtaning ordinatasi R aylana ustidagi vektor.

Ya'ni, berilgan alfa burchak sinusining qiymatini olish uchun koordinatani aniqlash kerak. U yuzada.

Bu qiymat qanday olingan? To'g'ri burchakli uchburchakdagi ixtiyoriy burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati ekanligini bilganimiz uchun, biz buni olamiz.

Va shundan beri R=1, Bu sin(a) = y 0 .

Birlik aylanasida ordinataning qiymati -1 dan kichik va 1 dan katta bo'lishi mumkin emas, ya'ni

Sinus birlik doirasining birinchi va ikkinchi choraklarida ijobiy, uchinchi va to'rtinchi choraklarda esa salbiy qiymatni oladi.

Burchakning kosinusu radius vektori tomonidan hosil qilingan berilgan doira YOKI, nuqtaning abssissasi R aylana ustidagi vektor.

Ya'ni, berilgan alfa burchagining kosinus qiymatini olish uchun koordinatani aniqlash kerak X yuzada.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi ixtiyoriy burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati, biz buni olamiz

Va shundan beri R=1, Bu cos(a) = x 0 .

Birlik aylanasida abscissa qiymati -1 dan kichik va 1 dan katta bo'lishi mumkin emas, ya'ni

Kosinus birlik doirasining birinchi va to'rtinchi choraklarida ijobiy, ikkinchi va uchinchilarida esa salbiy qiymatni oladi.

Tangentixtiyoriy burchak Sinusning kosinusga nisbati hisoblanadi.

Agar biz to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqsak, bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Agar biz birlik doirasi haqida gapiradigan bo'lsak, u holda bu ordinataning abscissaga nisbati.

Ushbu munosabatlarga ko'ra, agar abscissa qiymati nolga teng bo'lsa, ya'ni 90 graduslik burchak ostida bo'lsa, tangens mavjud bo'lmasligini tushunish mumkin. Tangens boshqa barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Tangens birlik doirasining birinchi va uchinchi choragida ijobiy, ikkinchi va to‘rtinchi choraklarida esa manfiy bo‘ladi.

|BD| - markazi A nuqtada bo'lgan aylana yoyi uzunligi.
a - radianlarda ifodalangan burchak.

tangent ( tan a) trigonometrik funksiya boʻlib, gipotenuza va toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi orasidagi a burchakka bogʻliq boʻlib, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| qo'shni oyoqning uzunligiga |AB| .
kotangent ( ctg a) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| qarama-qarshi oyoq uzunligiga |BC| .

Tangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida tangens quyidagicha ifodalanadi:
.
;
;
.

Tangens funksiyaning grafigi, y = tan x

Kotangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
.
Quyidagi belgilar ham qabul qilinadi:
;
;
.

Kotangens funksiyaning grafigi, y = ctg x

Tangens va kotangensning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = tg x va y = ctg x p davri bilan davriydir.

Paritet

Tangens va kotangens funksiyalari toq.

Ta'rif sohalari va qadriyatlari, ortishi, kamayishi

Tangens va kotangens funksiyalar oʻzlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).

Formulalar

Sinus va kosinus yordamida ifodalar

; ;
; ;
;

Yig'indi va ayirmadan tangens va kotangens uchun formulalar

Qolgan formulalarni, masalan, olish oson

Tangenslar mahsuloti

Tangenslar yig‘indisi va ayirmasi formulasi

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlari keltirilgan.

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

;
;

Hosilalar

; .

.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-darajali hosila:
.
Tangens uchun formulalarni chiqarish > > > ; kotangent uchun > > >

Integrallar

Seriyani kengaytirish

X ning darajalarida tangensning kengayishini olish uchun funktsiyalar uchun darajalar qatoridagi kengayishning bir necha shartlarini olish kerak. gunoh x Va chunki x va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling, . Bu quyidagi formulalarni hosil qiladi.

Da .

da .
Qayerda Bn- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi:
;
;
Qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra:

Teskari funksiyalar

Tangens va kotangensning teskari funksiyalari mos ravishda arktangens va arkkotangensdir.

Arktangens, arctg

, Qayerda n- butun.

Arkkotangent, arkktg

, Qayerda n- butun.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.
G. Korn, Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma, 2012 yil.

Ushbu maqola o'z ichiga oladi sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvallari. Birinchidan, biz trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlari jadvalini, ya'ni 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 daraja burchaklarning sinuslari, kosinuslari, tangenslari va kotangentlari jadvalini beramiz ( 0, p/6, p/4, p/3, p/2, …, 2p radian). Shundan so'ng biz sinuslar va kosinuslar jadvalini, shuningdek V. M. Bradisning tangens va kotangentlar jadvalini beramiz va trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topishda ushbu jadvallardan qanday foydalanishni ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

0, 30, 45, 60, 90, ... daraja burchaklar uchun sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.
• Bradis V. M. To'rt xonali matematik jadvallar: Umumiy ta'lim uchun. darslik muassasalar. - 2-nashr. - M.: Bustard, 1999.- 96 b.: kasal. ISBN 5-7107-2667-2