Y x n funktsiyasining xususiyatlari. Eksponent funktsiya - xususiyatlar, grafikalar, formulalar. Kvadratik funktsiyaning asosiy xossalari
Y \u003d x p quvvat funktsiyasi ta'rifi sohasidagi quyidagi formulalar mavjud:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Quvvat funktsiyalarining xususiyatlari va ularning grafikalari
Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funktsiyasi, p \u003d 0
Agar quvvat funktsiyasining ko'rsatkichi y \u003d x p nolga teng bo'lsa, p \u003d 0, unda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va biriga teng bo'ladi:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x-0.
Tabiiy toq darajali quvvat funktsiyasi, p \u003d n \u003d 1, 3, 5, ...
Tabiiy toq ko'rsatkichi n \u003d 1, 3, 5, ... bo'lgan y \u003d x p \u003d x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish mumkin: n \u003d 2k + 1, bu erda k \u003d 0, 1, 2, 3, ... manfiy bo'lmagan tamsayı. Quyida bunday funktsiyalarning xususiyatlari va grafikalari keltirilgan.
N \u003d 1, 3, 5, ... ko'rsatkichlarining har xil qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y \u003d x n quvvat funktsiyasi grafigi.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
-∞< x < 0
выпукла вверх
0 da< x < ∞
выпукла вниз
Burilish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun,
y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 \u003d -1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 n \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d 1 uchun funktsiya o'ziga teskari: x \u003d y
n-1 uchun teskari funktsiya n darajaning ildizi:
Tabiiy juftlik ko'rsatkichi bilan quvvat funktsiyasi, p \u003d n \u003d 2, 4, 6, ...
Tabiiy juftlik n \u003d 2, 4, 6, .... bo'lgan y \u003d x p \u003d x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bunday ko'rsatkichni quyidagi shaklda ham yozish mumkin: n \u003d 2k, bu erda k \u003d 1, 2, 3, ... - tabiiy. Bunday funktsiyalarning xususiyatlari va grafikalari quyida keltirilgan.
N \u003d 2, 4, 6, .... ko'rsatkichlarining har xil qiymatlari uchun tabiiy juftlik ko'rsatkichi bo'lgan quvvat funktsiyasi y \u003d x n grafigi.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
chunki x-0 monotonik ravishda kamayadi
chunki x-0 monotonik ravishda oshadi
Haddan tashqari: minimal, x \u003d 0, y \u003d 0
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun, y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k \u003d 1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 n \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d 2 uchun, kvadrat ildiz:
n-2 uchun, n daraja ildizi:
Salbiy tamsayı ko'rsatkichi bilan quvvat funktsiyasi, p \u003d n \u003d -1, -2, -3, ...
N \u003d -1, -2, -3, ... manfiy tamsayı ko'rsatkichi bilan quvvat funktsiyasini y \u003d x p \u003d x n ko'rib chiqing. Agar $ n \u003d -k $ qo'yadigan bo'lsak, bu erda $ k \u003d 1, 2, 3, ... $ tabiiy son bo'lsa, u holda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Y \u003d x n quvvat funktsiyasi grafigi n \u003d -1, -2, -3, ... ko'rsatkichlarining turli qiymatlari uchun manfiy tamsayı ko'rsatkichi bilan.
G'alati ko'rsatkich, n \u003d -1, -3, -5, ...
Quyida y \u003d x n funktsiyaning toq manfiy ko'rsatkichi n \u003d -1, -3, -5, ... bo'lgan xususiyatlari keltirilgan.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вверх
x\u003e 0 uchun: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi:
x da< 0, y < 0
x\u003e 0 uchun, y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d -1 uchun,
n uchun< -2
,
Hatto ko'rsatkich, n \u003d -2, -4, -6, ...
Quyida y \u003d x n funktsiyasining hattoki manfiy n \u003d -2, -4, -6, .... ko'rsatkichlari berilgan.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y\u003e 0
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно возрастает
x\u003e 0 uchun: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi: y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d -2 uchun,
n uchun< -2
,
Ratsional (kasrli) ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyasi
N \u003d butun son, m\u003e 1 natural son bo'lgan ratsional (kasrli) ko'rsatkichga ega bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bundan tashqari, n, m ning umumiy bo'linuvchilari yo'q.
Kesirli ko‘rsatkichning maxraji toq
Kasr darajasining maxraji toq bo lsin: m \u003d 3, 5, 7, .... Bunday holda, x p kuch funksiyasi argumentning ijobiy va manfiy qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganida, bunday quvvat funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
P ko'rsatkichi salbiy, p< 0
Ratsional daraja (toq maxraji m \u003d 3, 5, 7, ... bilan) noldan kam bo'lsin:.
Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional salbiy ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyalari grafikalari, bu erda m \u003d 3, 5, 7, ... g'alati.
Toq raqamlovchi, n \u003d -1, -3, -5, ...
Y \u003d x p kuch funksiyasining xossalarini ratsional manfiy ko'rsatkich bilan taqdim etamiz, bu erda n \u003d -1, -3, -5, ... toq manfiy tamsayı, m \u003d 3, 5, 7 ... toq musbat butun son.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вверх
x\u003e 0 uchun: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi:
x da< 0, y < 0
x\u003e 0 uchun, y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d (-1) n \u003d -1
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
Hatto raqamlovchi, n \u003d -2, -4, -6, ...
N \u003d -2, -4, -6, ... bu juft butun son, m \u003d 3, 5, 7 ... toq tabiiy bo'lib, ratsional manfiy ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyasi y \u003d x p xususiyatlari.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y\u003e 0
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно возрастает
x\u003e 0 uchun: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi: y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d (-1) n \u003d 1
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
P ko'rsatkichi musbat, birdan kam, 0 ga teng< p < 1
Ratsional ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyasi grafigi (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
G'alati raqamlovchi, n \u003d 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domen: -∞ < x < +∞
Ko'p qiymatlar: -∞ < y < +∞
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вниз
x\u003e 0 uchun: qavariq yuqoriga
Burilish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Belgisi:
x da< 0, y < 0
x\u003e 0 uchun, y\u003e 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d -1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
Hatto numerator, n \u003d 2, 4, 6, ...
Quvvat funktsiyasining xususiyatlari 0 \u003d ichida ratsional ko'rsatkich bilan y \u003d x p< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domen: -∞ < x < +∞
Ko'p qiymatlar: 0 ≤ y< +∞
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно убывает
x\u003e 0 uchun: bir xilda ortadi
Haddan tashqari: x \u003d 0, y \u003d 0 da minimal
Qavariq: $ x-0 $ uchun yuqoriga ko'tarilgan
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Belgisi: x-0, y\u003e 0 uchun
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d 1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
P birdan katta, p\u003e 1
Ko'rsatkichning har xil qiymatlari uchun ratsional ko'rsatkichi (p\u003e 1) bo'lgan quvvat funktsiyasi grafigi, bu erda m \u003d 3, 5, 7, ... g'alati.
G'alati raqamlovchi, n \u003d 5, 7, 9, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasining xususiyatlari :. Bu erda n \u003d 5, 7, 9, ... g'alati tabiiy, m \u003d 3, 5, 7 ... g'alati tabiiydir.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
-∞< x < 0
выпукла вверх
0 da< x < ∞
выпукла вниз
Burilish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d -1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
Hatto numerator, n \u003d 4, 6, 8, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasining xususiyatlari :. Bu erda n \u003d 4, 6, 8, ... juft tabiiy, m \u003d 3, 5, 7 ... toq tabiiydir.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
монотонно убывает
x\u003e 0 uchun bir xilda ortadi
Haddan tashqari: x \u003d 0, y \u003d 0 da minimal
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d 1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
Fraktsiya darajasining maxraji juft
Kesirli darajaning maxraji juft bo'lsin: m \u003d 2, 4, 6, ... Bunday holda, eksponent funktsiya x p salbiy argument qiymatlari uchun aniqlanmagan. Uning xususiyatlari irratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan quvvat funktsiyasi bilan bir xil (keyingi qismga qarang).
Mantiqsiz ko'rsatkichli quvvat funktsiyasi
Irratsional p ko'rsatkichga ega bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bunday funktsiyalarning xossalari yuqorida ko'rib chiqilganlardan farq qiladi, chunki ular x argumentining salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Argumentning ijobiy qiymatlari uchun xossalar faqat p ko'rsatkichning kattaligiga bog'liq va p butun son, ratsional yoki mantiqsiz bo'lishiga bog'liq emas.
y ko'rsatkichi p ning turli qiymatlari uchun y \u003d x p.
Salbiy ko'rsatkich p bilan quvvat funktsiyasi< 0
Domen: x\u003e 0
Ko'p qiymatlar: y\u003e 0
Monoton: monotonik ravishda kamayadi
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Cheklovlar: ;
Shaxsiy qiymat: X \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 p \u003d 1
Ijobiy ko'rsatkich p\u003e 0 bo'lgan quvvat funktsiyasi
0 dan kam ko'rsatkich< p < 1
Domen: x ≥ 0
Ko'p qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Qavariq: qavariq yuqoriga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
Xususiy qadriyatlar: X \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 p \u003d 0 bo'ladi.
X \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 p \u003d 1
Bitta p\u003e 1 dan katta ko'rsatkich
Domen: x ≥ 0
Ko'p qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
Xususiy qadriyatlar: X \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 p \u003d 0 bo'ladi.
X \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 p \u003d 1
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, texnik institutlar muhandislari va talabalari uchun matematik qo'llanma, "Lan", 2009 y.
Quvvat funktsiyasi shaklning funktsiyasi y \u003d x p, bu erda p - berilgan haqiqiy son.
Quvvat funktsiyasi xususiyatlari
- Agar indikator bo'lsa p \u003d 2n - hatto tabiiy raqam:
- aniqlanish sohasi - barcha haqiqiy sonlar, ya'ni R to'plam;
- qiymatlar to'plami manfiy bo'lmagan sonlar, ya'ni y ≥ 0;
- funktsiya teng;
- funktsiya x ≤ 0 oralig'ida kamayib, x ≥ 0 oralig'ida o'sib bormoqda.
- Agar indikator bo'lsa p \u003d 2n - 1 - g'alati tabiiy raqam:
- aniqlanish sohasi - R to'plami;
- qiymatlar to'plami - R to'plami;
- funktsiya g'alati;
- funktsiya butun o'qi bo'ylab o'sib boradi.
- Agar indikator bo'lsa p \u003d -2nqayerda n - tabiiy raqam:
- qiymatlar to'plami - musbat raqamlar y\u003e 0;
- funktsiya teng;
- funktsiya x 0 oralig'ida o'sib bormoqda.
- Agar indikator bo'lsa p \u003d - (2n - 1)qayerda n - tabiiy raqam:
- aniqlik sohasi - R to'plami, x \u003d 0 bundan mustasno;
- qiymatlar to'plami - R to'plami, y \u003d 0 bundan mustasno;
- funktsiya g'alati;
- funktsiya x 0 oralig'ida kamayib bormoqda.
- Agar indikator bo'lsa p - musbat haqiqiy butun son bo'lmagan raqam:
- aniqlanish sohasi - manfiy bo'lmagan x ≥ 0 sonlar;
- qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan sonlar y ≥ 0;
- funktsiya x ≥ 0 oralig'ida o'sib boradi.
- Agar indikator bo'lsa p - salbiy haqiqiy butun son bo'lmagan raqam:
- aniqlanish sohasi - musbat sonlar x\u003e 0;
- qiymatlar to'plami - musbat raqamlar y\u003e 0;
- funktsiya x\u003e 0 oralig'ida kamayib bormoqda.
Y \u003d x p quvvat funktsiyasi ta'rifi sohasidagi quyidagi formulalar mavjud:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Quvvat funktsiyalarining xususiyatlari va ularning grafikalari
Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funktsiyasi, p \u003d 0
Agar quvvat funktsiyasining ko'rsatkichi y \u003d x p nolga teng bo'lsa, p \u003d 0, unda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va biriga teng bo'ladi:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x-0.
Tabiiy toq darajali quvvat funktsiyasi, p \u003d n \u003d 1, 3, 5, ...
Tabiiy toq ko'rsatkichi n \u003d 1, 3, 5, ... bo'lgan y \u003d x p \u003d x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish mumkin: n \u003d 2k + 1, bu erda k \u003d 0, 1, 2, 3, ... manfiy bo'lmagan tamsayı. Quyida bunday funktsiyalarning xususiyatlari va grafikalari keltirilgan.
N \u003d 1, 3, 5, ... ko'rsatkichlarining har xil qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y \u003d x n quvvat funktsiyasi grafigi.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
-∞< x < 0
выпукла вверх
0 da< x < ∞
выпукла вниз
Burilish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun,
y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 \u003d -1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 n \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d 1 uchun funktsiya o'ziga teskari: x \u003d y
n-1 uchun teskari funktsiya n darajaning ildizi:
Tabiiy juftlik ko'rsatkichi bilan quvvat funktsiyasi, p \u003d n \u003d 2, 4, 6, ...
Tabiiy juftlik n \u003d 2, 4, 6, .... bo'lgan y \u003d x p \u003d x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bunday ko'rsatkichni quyidagi shaklda ham yozish mumkin: n \u003d 2k, bu erda k \u003d 1, 2, 3, ... - tabiiy. Bunday funktsiyalarning xususiyatlari va grafikalari quyida keltirilgan.
N \u003d 2, 4, 6, .... ko'rsatkichlarining har xil qiymatlari uchun tabiiy juftlik ko'rsatkichi bo'lgan quvvat funktsiyasi y \u003d x n grafigi.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
chunki x-0 monotonik ravishda kamayadi
chunki x-0 monotonik ravishda oshadi
Haddan tashqari: minimal, x \u003d 0, y \u003d 0
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun, y (-1) \u003d (-1) n ≡ (-1) 2k \u003d 1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 n \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d 2 uchun, kvadrat ildiz:
n-2 uchun, n daraja ildizi:
Salbiy tamsayı ko'rsatkichi bilan quvvat funktsiyasi, p \u003d n \u003d -1, -2, -3, ...
N \u003d -1, -2, -3, ... manfiy tamsayı ko'rsatkichi bilan quvvat funktsiyasini y \u003d x p \u003d x n ko'rib chiqing. Agar $ n \u003d -k $ qo'yadigan bo'lsak, bu erda $ k \u003d 1, 2, 3, ... $ tabiiy son bo'lsa, u holda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Y \u003d x n quvvat funktsiyasi grafigi n \u003d -1, -2, -3, ... ko'rsatkichlarining turli qiymatlari uchun manfiy tamsayı ko'rsatkichi bilan.
G'alati ko'rsatkich, n \u003d -1, -3, -5, ...
Quyida y \u003d x n funktsiyaning toq manfiy ko'rsatkichi n \u003d -1, -3, -5, ... bo'lgan xususiyatlari keltirilgan.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вверх
x\u003e 0 uchun: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi:
x da< 0, y < 0
x\u003e 0 uchun, y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d -1 uchun,
n uchun< -2
,
Hatto ko'rsatkich, n \u003d -2, -4, -6, ...
Quyida y \u003d x n funktsiyasining hattoki manfiy n \u003d -2, -4, -6, .... ko'rsatkichlari berilgan.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y\u003e 0
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно возрастает
x\u003e 0 uchun: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi: y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
n \u003d -2 uchun,
n uchun< -2
,
Ratsional (kasrli) ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyasi
N \u003d butun son, m\u003e 1 natural son bo'lgan ratsional (kasrli) ko'rsatkichga ega bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bundan tashqari, n, m ning umumiy bo'linuvchilari yo'q.
Kesirli ko‘rsatkichning maxraji toq
Kasr darajasining maxraji toq bo lsin: m \u003d 3, 5, 7, .... Bunday holda, x p kuch funksiyasi argumentning ijobiy va manfiy qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganida, bunday quvvat funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
P ko'rsatkichi salbiy, p< 0
Ratsional daraja (toq maxraji m \u003d 3, 5, 7, ... bilan) noldan kam bo'lsin:.
Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional salbiy ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyalari grafikalari, bu erda m \u003d 3, 5, 7, ... g'alati.
Toq raqamlovchi, n \u003d -1, -3, -5, ...
Y \u003d x p kuch funksiyasining xossalarini ratsional manfiy ko'rsatkich bilan taqdim etamiz, bu erda n \u003d -1, -3, -5, ... toq manfiy tamsayı, m \u003d 3, 5, 7 ... toq musbat butun son.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вверх
x\u003e 0 uchun: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi:
x da< 0, y < 0
x\u003e 0 uchun, y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d (-1) n \u003d -1
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
Hatto raqamlovchi, n \u003d -2, -4, -6, ...
N \u003d -2, -4, -6, ... bu juft butun son, m \u003d 3, 5, 7 ... toq tabiiy bo'lib, ratsional manfiy ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyasi y \u003d x p xususiyatlari.
Domen: x ≠ 0
Ko'p qiymatlar: y\u003e 0
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно возрастает
x\u003e 0 uchun: monotonik ravishda kamayadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi: y\u003e 0
Cheklovlar:
; ; ;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d (-1) n \u003d 1
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 n \u003d 1
Teskari funktsiya:
P ko'rsatkichi musbat, birdan kam, 0 ga teng< p < 1
Ratsional ko'rsatkichga ega quvvat funktsiyasi grafigi (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
G'alati raqamlovchi, n \u003d 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domen: -∞ < x < +∞
Ko'p qiymatlar: -∞ < y < +∞
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вниз
x\u003e 0 uchun: qavariq yuqoriga
Burilish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Belgisi:
x da< 0, y < 0
x\u003e 0 uchun, y\u003e 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d -1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
Hatto numerator, n \u003d 2, 4, 6, ...
Quvvat funktsiyasining xususiyatlari 0 \u003d ichida ratsional ko'rsatkich bilan y \u003d x p< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domen: -∞ < x < +∞
Ko'p qiymatlar: 0 ≤ y< +∞
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно убывает
x\u003e 0 uchun: bir xilda ortadi
Haddan tashqari: x \u003d 0, y \u003d 0 da minimal
Qavariq: $ x-0 $ uchun yuqoriga ko'tarilgan
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Belgisi: x-0, y\u003e 0 uchun
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d 1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
P birdan katta, p\u003e 1
Ko'rsatkichning har xil qiymatlari uchun ratsional ko'rsatkichi (p\u003e 1) bo'lgan quvvat funktsiyasi grafigi, bu erda m \u003d 3, 5, 7, ... g'alati.
G'alati raqamlovchi, n \u003d 5, 7, 9, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasining xususiyatlari :. Bu erda n \u003d 5, 7, 9, ... g'alati tabiiy, m \u003d 3, 5, 7 ... g'alati tabiiydir.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: g'alati, y (-x) \u003d - y (x)
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Haddan tashqari: yo'q
Qavariq:
-∞< x < 0
выпукла вверх
0 da< x < ∞
выпукла вниз
Burilish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d -1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
Hatto numerator, n \u003d 4, 6, 8, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasining xususiyatlari :. Bu erda n \u003d 4, 6, 8, ... juft tabiiy, m \u003d 3, 5, 7 ... toq tabiiydir.
Domen: -∞ < x < ∞
Ko'p qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: hatto, y (-x) \u003d y (x)
Monoton:
x da< 0
монотонно убывает
x\u003e 0 uchun bir xilda ortadi
Haddan tashqari: x \u003d 0, y \u003d 0 da minimal
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
;
Xususiy qadriyatlar:
x \u003d -1 uchun y (-1) \u003d 1
x \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0
x \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1
Teskari funktsiya:
Fraktsiya darajasining maxraji juft
Kesirli darajaning maxraji juft bo'lsin: m \u003d 2, 4, 6, ... Bunday holda, eksponent funktsiya x p salbiy argument qiymatlari uchun aniqlanmagan. Uning xususiyatlari irratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan quvvat funktsiyasi bilan bir xil (keyingi qismga qarang).
Mantiqsiz ko'rsatkichli quvvat funktsiyasi
Irratsional p ko'rsatkichga ega bo'lgan y \u003d x p quvvat funktsiyasini ko'rib chiqing. Bunday funktsiyalarning xossalari yuqorida ko'rib chiqilganlardan farq qiladi, chunki ular x argumentining salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Argumentning ijobiy qiymatlari uchun xossalar faqat p ko'rsatkichning kattaligiga bog'liq va p butun son, ratsional yoki mantiqsiz bo'lishiga bog'liq emas.
y ko'rsatkichi p ning turli qiymatlari uchun y \u003d x p.
Salbiy ko'rsatkich p bilan quvvat funktsiyasi< 0
Domen: x\u003e 0
Ko'p qiymatlar: y\u003e 0
Monoton: monotonik ravishda kamayadi
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: yo'q
Cheklovlar: ;
Shaxsiy qiymat: X \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 p \u003d 1
Ijobiy ko'rsatkich p\u003e 0 bo'lgan quvvat funktsiyasi
0 dan kam ko'rsatkich< p < 1
Domen: x ≥ 0
Ko'p qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Qavariq: qavariq yuqoriga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
Xususiy qadriyatlar: X \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 p \u003d 0 bo'ladi.
X \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 p \u003d 1
Bitta p\u003e 1 dan katta ko'rsatkich
Domen: x ≥ 0
Ko'p qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monotonik ravishda ko'payadi
Qavariq: qavariq pastga
Burilish nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bo'lgan kesishish nuqtalari: x \u003d 0, y \u003d 0
Cheklovlar:
Xususiy qadriyatlar: X \u003d 0 uchun y (0) \u003d 0 p \u003d 0 bo'ladi.
X \u003d 1 uchun y (1) \u003d 1 p \u003d 1
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, texnik institutlar muhandislari va talabalari uchun matematik qo'llanma, "Lan", 2009 y.
Siz funktsiyalar bilan tanishmisiz y \u003d x, y \u003d x 2 , y \u003d x 3 , y \u003d 1 / xva hokazo .. Bu funktsiyalarning barchasi quvvat funktsiyasining maxsus holatlari, ya'ni funktsiyalardir y \u003d x p , bu erda p - berilgan haqiqiy son. Quvvat funktsiyasining xususiyatlari va grafigi asosan haqiqiy ko'rsatkichga ega bo'lgan quvvat xususiyatlariga va xususan, qanday qiymatlarga bog'liq xva pmantiqiy daraja x p ... Ko'rsatkichga qarab har xil holatlarni o'xshash ko'rib chiqishga o'tamiz p.
Indeks p \u003d 2nteng sonli son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y \u003d x 2n qayerda n- natural son, quyidagilarga ega
xususiyatlari:
aniqlanish sohasi - barcha haqiqiy sonlar, ya'ni R to'plam;
qiymatlar to'plami manfiy bo'lmagan sonlar, ya'ni y 0 dan katta yoki unga teng;
funktsiya y \u003d x 2n hatto, beri x 2n \u003d (- x) 2n
funktsiya oralig'ida kamayib boradi x<0 va intervalda o'sib boradi x\u003e 0.
Funktsiyalar grafigi y \u003d x 2n masalan, funktsiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y \u003d x 4 .
2. Ko'rsatkich p \u003d 2n-1toq tabiiy son Bu holda quvvat funktsiyasi y \u003d x 2n-1 , bu erda tabiiy son quyidagi xususiyatlarga ega:
aniqlanish sohasi - R to'plami;
qiymatlar to'plami - R to'plami;
funktsiya y \u003d x 2n-1 toq yildan beri (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;
funktsiya butun o'qi bo'ylab o'sib boradi.
Funktsiyalar grafigi y \u003d x2n-1masalan, funktsiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y \u003d x3.
3. Ko'rsatkich p \u003d -2nqayerda n -tabiiy son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y \u003d x -2n \u003d 1 / x 2n quyidagi xususiyatlarga ega:
qiymatlar to'plami - musbat raqamlar y\u003e 0;
funktsiya y \u003d 1 / x 2n hatto, beri 1 / (- x) 2n =1 / x 2n ;
funktsiya x oralig'ida ortib bormoqda<0 и убывающей на промежутке x>0.
Funktsiya y fitna \u003d 1 / x 2n masalan, y funktsiyasi grafigi bilan bir xil shaklga ega \u003d 1 / x 2 .
4. Ko'rsatkich p \u003d - (2n-1)qayerda n- tabiiy raqam. Bunday holda, quvvat funktsiyasi y \u003d x - (2n-1) quyidagi xususiyatlarga ega:
aniqlik sohasi - R to'plami, x \u003d 0 bundan mustasno;
qiymatlar to'plami - R to'plami, y \u003d 0 bundan mustasno;
funktsiya y \u003d x - (2n-1) toq yildan beri (- x) - (2n-1) =-x - (2n-1) ;
funktsiya vaqti-vaqti bilan kamayib boradi x<0 va x\u003e 0.
Funktsiyalar grafigi y \u003d x - (2n-1) masalan, funktsiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y \u003d 1 / x 3 .
Teskari trigonometrik funktsiyalar, ularning xususiyatlari va grafikalari.
Teskari trigonometrik funktsiyalar, ularning xossalari va grafikalari.Teskari trigonometrik funktsiyalar (dairesel funktsiyalar, boshq funktsiyalari) - trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar.
Arcsin funktsiyasi
Funktsiyalar grafigi 
.
Arcsine raqamlar m bu burchakka deyiladi x, buning uchun
Funktsiya uzluksiz va butun raqam satrida cheklangan. Funktsiya 
qat'iy ravishda o'sib bormoqda.
[Tartibga solish] arcsin funktsiyasining xususiyatlari
[Tartibga solish] arcsin funktsiyasini olish
Funksiya berilgan ta'rif sohalari u shunday bo'ladi qismli monotonva shuning uchun teskari yozishmalar 
funktsiya emas. Shuning uchun, biz u qat'iy ravishda ko'payadigan va barcha qiymatlarni qabul qiladigan segmentni ko'rib chiqamiz qadriyatlar oralig'i -. Intervaldagi funktsiya uchun argumentning har bir qiymati funktsiyaning noyob qiymatiga mos keladigan bo'lsa, u holda bu oraliqda mavjud teskari funktsiya 
uning grafasi to'g'ri chiziqqa nisbatan segmentdagi funktsiya grafigiga nosimmetrikdir
Leksiya: Tabiiy ko'rsatkichli quvvat funktsiyasi, uning grafigi
Biz doimo argument ma'lum darajada bo'lgan funktsiyalar bilan shug'ullanamiz:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 va boshqalar.
Quvvat funktsiyasi grafikalari
Shunday qilib, endi biz quvvat funktsiyasining bir nechta mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqamiz.
1) y \u003d x 2 n .
Demak, endi biz eksponent juft son bo'lgan funktsiyalarni ko'rib chiqamiz.
Xususiyat xususiyati:
1. Barcha haqiqiy raqamlar diapazon sifatida qabul qilinadi.
2. Funktsiya barcha ijobiy qiymatlarni va nol sonni qabul qilishi mumkin.
3. Funksiya teng, chunki u argument belgisiga bog'liq emas, balki faqat uning moduliga bog'liq.
4. Ijobiy dalil uchun funktsiya kuchayadi, salbiy uchun esa kamayadi.
Ushbu funktsiyalarning grafikalari parabolaga o'xshaydi. Masalan, quyida y \u003d x 4 funksiyaning grafigi keltirilgan. 
2) Funktsiyaning toq ko'rsatkichi bor: y \u003d x 2 n +1.
1. Funktsiya domeni bu haqiqiy sonlarning butun to'plamidir.
2. Funktsiya diapazoni - har qanday haqiqiy son shaklida bo'lishi mumkin.
3. Ushbu funktsiya g'alati.
4. Funktsiyani ko'rib chiqishning butun davrida monotonik ravishda ko'payadi.
5.
Toq darajali barcha quvvat funktsiyalarining grafigi y \u003d x 3 funktsiyasi bilan bir xildir. 
3) Funktsiya hatto salbiy tabiiy ko'rsatkichga ega: y \u003d x -2 n.
Barchamiz bilamizki, manfiy ko'rsatkich ko'rsatkichni ajratuvchiga tushirish va ko'rsatkich belgisini o'zgartirishga imkon beradi, ya'ni y \u003d 1 / x 2 n shaklini olasiz.
1. Ushbu funktsiya argumenti noldan boshqa har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, chunki o'zgaruvchi maxrajda.
2. Ko'rsatkich juft son bo'lgani uchun funktsiya salbiy qiymatlarni qabul qila olmaydi. Va argument nolga teng bo'lishi mumkin emasligi sababli, nolga teng funktsiya qiymati ham chiqarib tashlanishi kerak. Bu shuni anglatadiki, funktsiya faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
3. Ushbu funktsiya teng.
4. Salbiy argument uchun funktsiya bir xilda ortadi va ijobiy argument uchun u kamayadi.
Y \u003d x -2 funktsiyasi grafigining ko'rinishi: 
4) Salbiy toq darajali ko'rsatkich y \u003d x - (2 n +1).
1. Ushbu funktsiya argumentning nol sonidan tashqari barcha qiymatlari uchun mavjud.
2. Funktsiya nol sonidan tashqari barcha tegishli qiymatlarni qabul qiladi.
3. Ushbu funktsiya g'alati.
4. Ko'rib chiqilayotgan ikki oraliqda pasayish.
Y \u003d x -3 misolidan foydalanib, salbiy toq ko'rsatkichi bo'lgan funktsiya grafigi misolini ko'rib chiqing. 
