Salbiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi. Kvadrat ildiz. Misollar bilan batafsil nazariya. Endi butunlay o'zim

Ushbu maqolada biz tanishtiramiz ildiz tushunchasi... Biz ketma-ket harakat qilamiz: biz kvadrat ildizdan boshlaymiz, undan kub ildizning tavsifiga o'tamiz, shundan so'ng biz n-chi ildizni belgilab, ildiz tushunchasini umumlashtiramiz. Shu bilan birga, biz ta'riflarni, belgilashlarni kiritamiz, ildizlarga misollar keltiramiz va kerakli tushuntirish va sharhlarni beramiz.

Kvadrat ildiz, arifmetik kvadrat ildiz

Raqamning ildizi va xususan kvadrat ildizi ta'rifini tushunish uchun sizga ega bo'lishingiz kerak. Shu payt biz sonning ikkinchi kuchiga - sonning kvadratiga duch kelamiz.

Boshlaymiz kvadrat ildizning ta'rifi.

Ta'rif

Kvadrat a kvadrati a bo'lgan son.

Olib kelish uchun kvadrat ildizlarning namunalari, biz bir nechta raqamlarni olamiz, masalan, 5, -0.3, 0.3, 0 va ularni kvadratga aylantiramiz, biz mos ravishda 25, 0.09, 0.09 va 0 raqamlarini olamiz (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0.3) 2 \u003d (- 0.3) (-0.3) \u003d 0.09, (0.3) 2 \u003d 0.3 · 0.3 \u003d 0.09 va 0 2 \u003d 0 · 0 \u003d 0). Keyin, yuqoridagi ta'rifga ko'ra, 5 - 25, −0,3 va 0,3 - 0,09 kvadrat ildiz, 0 - nol kvadrat ildiz.

Shuni ta'kidlash kerakki, kvadrati a ga teng bo'lgan har qanday son uchun mavjud emas. Ya'ni har qanday manfiy a uchun kvadrat a ga teng bo'ladigan bitta haqiqiy b soni yo'q. Darhaqiqat, a \u003d b 2 tenglik har qanday manfiy a uchun mumkin emas, chunki b 2 har qanday b uchun manfiy bo'lmagan son. Shunday qilib, haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning kvadrat ildizi yo'q... Boshqacha qilib aytganda, haqiqiy sonlar to'plamida manfiy sonning kvadrat ildizi aniqlanmagan va mantiqiy emas.

Bu mantiqiy savolga olib keladi: "Har qanday manfiy bo'lmagan a uchun kvadratning ildizi bormi?" Javob ha. Ushbu faktning asosini kvadrat ildiz qiymatini topish uchun ishlatiladigan konstruktiv usul deb hisoblash mumkin.

Keyin quyidagi mantiqiy savol tug'iladi: "Berilgan manfiy bo'lmagan a - bitta, ikki, uch yoki undan ham ko'p sonli barcha kvadrat ildizlarning soni qancha?" Mana javob: agar a nol bo'lsa, nolning yagona kvadrat ildizi nolga teng; agar a biron bir musbat son bo'lsa, u holda a sonidan kvadrat ildizlarning soni ikkiga, ildizlari esa tengdir. Keling, buni oqlaylik.

A \u003d 0 holatidan boshlaymiz. Birinchidan, nol haqiqatan ham nolning kvadrat ildizi ekanligini ko'rsataylik. Bu aniq tenglik 0 2 \u003d 0 · 0 \u003d 0 va kvadrat ildizning ta'rifidan kelib chiqadi.

Endi 0 nolning yagona kvadrat ildizi ekanligini isbotlaylik. Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanaylik. Faraz qilaylik, nolning kvadrat ildizi bo'lgan nolga teng bo'lmagan b soni bo'lsa. Shunda b 2 \u003d 0 shart bajarilishi kerak, bu imkonsiz, chunki har qanday nol bo'lmagan b uchun ifoda qiymati b 2 ijobiy bo'ladi. Biz ziddiyatga keldik. Bu 0 nolning yagona kvadrat ildizi ekanligini isbotlaydi.

$ A $ ijobiy raqam bo'lgan holatlarga o'tamiz. Yuqorida biz har qanday manfiy bo'lmagan sonning har doim kvadrat ildizi borligini aytdik, b a ning kvadrat ildizi bo'lsin. Faraz qilaylik, c soni ham bor, u ham a ning tub ildizi. Keyinchalik, kvadrat ildizning ta'rifi bilan b 2 \u003d a va c 2 \u003d a tengliklar, bundan kelib chiqadigan b 2 - c 2 \u003d a - a \u003d 0, lekin b 2 - c 2 \u003d (b - c) b + c), keyin (b - c) (b + c) \u003d 0. Natijada yuzaga keladigan tenglik amaldagi raqamlar bilan harakatlarning xususiyatlari faqat b - c \u003d 0 yoki b + c \u003d 0 bo'lganda mumkin. Shunday qilib, b va c raqamlari teng yoki qarama-qarshi.

Agar biz a sonining yana bir kvadrat ildizi bo'lgan d raqami bor deb hisoblasak, u holda allaqachon berilganlarga o'xshash fikr yuritish orqali d ning b yoki c soniga teng ekanligi isbotlangan. Demak, musbat sonning kvadrat ildizlari soni ikkitadir, kvadrat ildizlari esa qarama-qarshi sonlar.

Kvadrat ildizlar bilan ishlash qulayligi uchun salbiy ildiz ijobiydan "ajratiladi". Shu maqsadda, arifmetik kvadrat ildiz ta'rifi.

Ta'rif

Salbiy bo'lmagan a sonining arifmetik kvadrat ildizi Kvadrat a bo'lgan manfiy bo'lmagan sonmi.

Belgilanish a sonining arifmetik kvadrat ildizi uchun qabul qilingan. Belgiga arifmetik kvadrat ildiz belgisi deyiladi. U radikal belgi deb ham ataladi. Shuning uchun, siz bir xil narsani anglatadigan "ildiz" va "radikal" ni ham qisman eshitishingiz mumkin.

Arifmetik kvadrat ildiz belgisi ostidagi raqam deyiladi ildiz raqami, va ildiz belgisi ostidagi ibora radikal ifoda, "radikal son" atamasi ko'pincha "radikal ifoda" bilan almashtiriladi. Masalan, yozuvda 151 raqami radikal son, yozuvda a ifodasi radikal ifoda.

"Arifmetik" so'zini o'qiyotganda ko'pincha chiqarib tashlanadi, masalan, yozuv "yigirma to'qqiz yuzinchi etti nuqtaning kvadrat ildizi" deb o'qiladi. "Arifmetik" so'zi faqatgina raqamning musbat kvadrat ildizi haqida ketayotganligini ta'kidlamoqchi bo'lganlarida talaffuz qilinadi.

Kiritilgan yozuvni hisobga olgan holda, arifmetik kvadrat ildiz ta'rifidan kelib chiqadiki, har qanday manfiy bo'lmagan son uchun a.

A musbat sonning kvadrat ildizlari arifmetik kvadrat ildiz belgisi sifatida va shunday yoziladi. Masalan, 13 ning kvadrat ildizlari quyidagicha va. Nolning arifmetik kvadrat ildizi nolga teng, ya'ni ,. Salbiy sonlar a uchun biz o'qimagunimizcha yozuvlarni ma'nosiz qilamiz murakkab sonlar... Masalan, iboralar va ma'nosiz.

Kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanib, amalda ko'pincha qo'llaniladigan kvadrat ildizlarning xossalari isbotlangan.

Ushbu banddan xulosa qilib, a sonining kvadrat ildizlari x o'zgaruvchiga nisbatan x 2 \u003d a shaklidagi echimlar ekanligiga e'tibor bering.

Raqamning kubik ildizi

Kub ildizini aniqlash a sonidan kvadrat ildiz ta'rifiga o'xshash berilgan. Faqatgina u kvadrat emas, balki sonning kub tushunchasiga asoslanadi.

Ta'rif

A sonining kubik ildizi kubi a ga teng bo'lgan son.

Keling, beraylik kub ildizlariga misollar... Buni amalga oshirish uchun bir nechta sonlarni oling, masalan, 7, 0, -2/3 va ularni kubga soling: 7 3 \u003d 7 7 7 \u003d 343, 0 3 \u003d 0 0 0 \u003d 0, ... Keyin, kub ildizi ta'rifiga asoslanib, 7 raqami 343 ning kub ildizi, 0 nolning kub ildizi va -2/3 ning -8/27 kub ildizi ekanligi haqida bahslashishimiz mumkin.

Ko'rsatish mumkinki, a sonining kub ildizi, kvadrat ildizdan farqli o'laroq, har doim mavjud bo'lib, nafaqat salbiy a, balki har qanday haqiqiy a soni uchun ham mavjud. Buning uchun kvadrat ildizni o'rganishda biz aytib o'tgan usuldan foydalanishingiz mumkin.

Bundan tashqari, berilgan a sonining faqat bitta kubik ildizi mavjud. So'nggi gapni isbotlaylik. Buning uchun biz uchta holatni alohida ko'rib chiqamiz: a - musbat son, a \u003d 0 va a - salbiy son.

Ijobiy a uchun a ning tub ildizi manfiy yoki nolga teng bo'lmasligini ko'rsatish oson. Darhaqiqat, b a ning tub ildizi bo'lsin, u holda ta'rif bo'yicha b 3 \u003d a tenglikni yozishimiz mumkin. Bu tenglik manfiy b va b \u003d 0 ga to'g'ri kelmasligi aniq, chunki bu holda b 3 \u003d b · b · b mos ravishda manfiy yoki nolga teng bo'ladi. Demak, musbat a sonining kub ildizi musbat sondir.

Endi b sonidan tashqari a sonining yana bitta kub ildizi bor deb faraz qilaylik, biz uni c bilan belgilaymiz. Keyin c 3 \u003d a. Shuning uchun, b 3 - c 3 \u003d a - a \u003d 0, lekin b 3-c 3 \u003d (b - c) (b 2 + b c + c 2) (bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi kublarning farqi), qaerdan (b - c) (b 2 + b c + c 2) \u003d 0. Natijada tenglik faqat b - c \u003d 0 yoki b 2 + b c + c 2 \u003d 0 bo'lganda mumkin bo'ladi. Birinchi tenglikdan biz b \u003d c ga egamiz, ikkinchidan esa hech qanday echimga ega emasmiz, chunki uning chap tomoni har qanday musbat sonlar uchun ijobiy son b va c uchta musbat hadlar yig'indisi b 2, b c va c 2 sifatida. Bu musbat a sonining kubik ildizining o'ziga xosligini isbotlaydi.

A \u003d 0 uchun a n ning kub ildizi faqat nolga teng. Darhaqiqat, agar biz nolga teng bo'lmagan nol kubik ildizi bo'lgan b soni bor deb hisoblasak, u holda b 3 \u003d 0 tenglik bo'lishi kerak, bu faqat b \u003d 0 bo'lganda mumkin.

Salbiy a uchun ijobiy a uchun holatga o'xshash bahslashish mumkin. Birinchidan, manfiy sonning kub ildizi na musbat songa, na nolga teng bo'lolmasligini ko'rsatamiz. Ikkinchidan, manfiy sonning ikkinchi kub ildizi bor deb taxmin qilamiz va u albatta birinchisiga to'g'ri kelishini ko'rsatamiz.

Shunday qilib, har qanday berilgan haqiqiy sonning har doim bir kub ildizi mavjud va u bitta.

Keling, beraylik arifmetik kub ildizining ta'rifi.

Ta'rif

Salbiy bo'lmagan sonning arifmetik kubik ildizi a - kubi a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son.

Salbiy bo'lmagan a sonining arifmetik kub ildizi quyidagicha belgilanadi, belgisi arifmetik kub ildizining belgisi, bu yozuvdagi 3 raqami deyiladi. ildiz ko'rsatkichi... Ildiz belgisi ostidagi raqam ildiz raqami, ildiz belgisi ostidagi ibora ildiz ifodasi.

Arifmetik kub ildizi faqat manfiy bo'lmagan a uchun aniqlangan bo'lsa ham, manfiy sonlar arifmetik kub ildizi ostida bo'lgan yozuvlardan foydalanish ham qulaydir. Biz ularni quyidagicha tushunamiz:, bu erda a musbat son. Masalan, .

Ildizlarning xossalari haqida umumiy maqolada kub ildizlarning xususiyatlari haqida gaplashamiz.

Kubning ildiz qiymatini hisoblash kubiklarni ekstraktsiya qilish deb ataladi, bu harakat ildizni ajratib olish maqolasida muhokama qilinadi: usullar, misollar, echimlar.

Ushbu xatboshidan xulosa qilib, a sonining kub ildizi x 3 \u003d a shaklidagi yechim deb aytamiz.

N-chi ildiz, n-chi arifmetik ildiz

Sonning ildizi tushunchasini umumlashtirish uchun biz kiritamiz n daraja ildizini aniqlash n uchun.

Ta'rif

A-ning N-ildizi N-chi kuchi a bo'lgan son.

Ushbu ta'rifdan ma'lumki, a sonidan birinchi darajaning ildizi a sonining o'zi, chunki darajani tabiiy ko'rsatkich bilan o'rganayotganda biz 1 \u003d a ni oldik.

Yuqorida biz n-chi ildizning n \u003d 2 va n \u003d 3 - kvadrat ildiz va kub ildizi uchun alohida holatlarini ko'rib chiqdik. Ya'ni, kvadrat ildiz ikkinchi darajali ildiz, kub ildiz esa uchinchi darajadagi ildizdir. N-daraja ildizlarini n \u003d 4, 5, 6, ... uchun o'rganish uchun ularni ikki guruhga ajratish qulay: birinchi guruh - juft darajadagi ildizlar (ya'ni n \u003d 4, 6, 8, ... uchun), ikkinchi guruh - ildizlar toq darajalar (ya'ni n \u003d 5, 7, 9, ... uchun). Buning sababi shundaki, juft darajadagi ildizlar kvadrat ildizga, toq darajadagi ildizlar kubik ildizga o'xshashdir. Keling, ular bilan o'z navbatida shug'ullanamiz.

Qudratlari juft sonlar 4, 6, 8, bo'lgan ildizlardan boshlaymiz ... Aytganimizdek, ular a sonining kvadrat ildiziga o'xshashdir. Ya'ni a sonidan har qanday teng darajadagi ildiz faqat manfiy bo'lmagan a uchun mavjud. Bundan tashqari, agar a \u003d 0 bo'lsa, unda a ning ildizi noyob va nolga teng, agar a\u003e 0 bo'lsa, unda a sonidan juft darajadagi ikkita ildiz mavjud va ular qarama-qarshi sonlardir.

So'nggi gapni oqlaylik. A sonidan b juft darajadagi ildiz bo'lsin (biz uni 2 · m deb belgilaymiz, bu erda m - ba'zi bir tabiiy sonlar) a sonidan. Faraz qilaylik, c soni - a sonining 2 m darajadagi yana bitta ildizi. Keyin b 2 m - c 2 m \u003d a - a \u003d 0. Ammo biz b 2 m-c 2 m \u003d (b - c) (b + c) shaklini bilamiz (b 2 m - 2 + b 2 m - 4 c 2 + b 2 m - 6 c 4 +… + c 2 m - 2), keyin (b - c) (b + c) (b 2 m - 2 + b 2 m - 4 c 2 + b 2 m - 6 c 4 +… + c 2 m - 2) \u003d 0... Ushbu tenglikdan kelib chiqadiki, b - c \u003d 0, yoki b + c \u003d 0, yoki b 2 m - 2 + b 2 m - 4 c 2 + b 2 m - 6 c 4 +… + c 2 m - 2 \u003d 0... Birinchi ikkita tenglik, b va c sonlari teng yoki b va c qarama-qarshi ekanligini anglatadi. Va oxirgi tenglik faqat $ b \u003d c \u003d 0 $ uchun amal qiladi, chunki uning chap tomonida har qanday $ b $ va $ c $ uchun manfiy bo'lmagan sonlarning yig'indisi sifatida manfiy bo'lmagan ifoda mavjud.

Toq n uchun n daraja ildizlariga kelsak, ular kub ildiziga o'xshashdir. Ya'ni a sonidan istalgan toq darajadagi ildiz har qanday haqiqiy a soni uchun mavjud va berilgan a soni uchun u o'ziga xosdir.

A sonidan toq daraja 2 m + 1 ildizning o'ziga xosligi, a ning kub ildizining o'ziga xosligini isbotlash bilan o'xshashlik bilan isbotlangan. Faqat bu erda tenglik o'rniga a 3 −b 3 \u003d (a - b) (a 2 + a b + c 2) b 2 m + 1 - c 2 m + 1 \u003d shaklidagi tenglik (b - c) (b 2 m + b 2 m - 1 c + b 2 m - 2 c 2 +… + c 2 m)... Oxirgi qavsdagi ifodani quyidagicha yozish mumkin b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m - 2 + c 2 m - 2 + b c (b 2 m - 4 + c 2 m - 4 + b c (… + (b 2 + c 2 + b c)))))... Masalan, m \u003d 2 uchun bizda mavjud b 5-c 5 \u003d (b - c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4) \u003d (b - c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c))... A va b ikkalasi ham musbat yoki ikkalasi ham salbiy bo'lsa, ularning ko'paytmasi musbat songa teng bo'ladi, u holda uyaning eng yuqori qavsidagi b 2 + c 2 + b · c ifodasi musbat sonlarning yig'indisi sifatida musbat bo'ladi. Endi oldingi uyalash darajalarining qavslaridagi ifodalarga ketma-ket o'tib, ularning musbat sonlar yig'indisi sifatida ham ijobiy ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Natijada, b 2 m + 1 - c 2 m + 1 \u003d tenglik hosil bo'ladi (b - c) (b 2 m + b 2 m - 1 c + b 2 m - 2 c 2 +… + c 2 m) \u003d 0 faqat b - c \u003d 0 bo'lganda, ya'ni b soni c soniga teng bo'lganda mumkin.

N-chi ildizlarning yozuvlari bilan shug'ullanish vaqti keldi. Buning uchun berilgan n-arifmetik ildizning ta'rifi.

Ta'rif

Salbiy bo'lmagan a sonidan n daraja arifmetik ildizi manfiy bo'lmagan son bo'lib, n-chi kuchi a ga teng.

Salbiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizini tushunish

X2 \u003d 4 tenglamani ko'rib chiqing. Buning uchun bitta tizimda koordinatalar y \u003d x2 parabola va y \u003d 4 to'g'ri chiziqni quramiz (74-rasm). Ular ikkita A (- 2; 4) va B (2; 4) nuqtalarda kesishadi. A va B nuqtalarning abstsissalari x2 \u003d 4 tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Demak, x1 \u003d - 2, x2 \u003d 2.

Xuddi shu tarzda bahslashib, x2 \u003d 9 tenglamaning ildizlarini topamiz (74-rasmga qarang): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

Endi x2 \u003d 5 tenglamani echishga harakat qilaylik; geometrik illyustratsiya shakl. 75. Bu tenglama x1 va x2 ikkita ildizga ega ekanligi aniq va bu sonlar, avvalgi ikkita holatda bo'lgani kabi, mutlaq qiymatga teng va (x1 - - x2) belgisiga qarama-qarshi - Ammo oldingi holatlardan farqli o'laroq, bu erda tenglamaning ildizlari joylashgan qiyinchiliksiz topilgan (va ularni grafiklardan foydalanmasdan topish mumkin), x2 \u003d 5 tenglamasi bilan, bunday emas: chizilgan rasmga ko'ra, biz ildizlarning qiymatlarini ko'rsatolmaymiz, faqat bittasini o'rnatishimiz mumkin ildiz 2-banddan bir oz chap tomonda, ikkinchisi 2-banddan biroz o'ng tomonda joylashgan.

Ammo biz bu erda yoqimsiz kutilmagan hodisani kutmoqdamiz. Aniqlanishicha, bunday narsa yo'q kasrlar DIV_ADBLOCK32 "\u003e

Aytaylik, tenglik uchun kamaytirilmaydigan kasr bor https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg "alt \u003d" (! LANG: .jpg" width="55" height="36">!} , ya'ni m2 \u003d 5n2. Oxirgi tenglik shuni anglatadi tabiiy son m2 qoldiqsiz 5 ga bo'linadi (biz n2 ni olamiz).

Shuning uchun m2 soni 5 raqami yoki 0 raqami bilan tugaydi, ammo keyinchalik m tabiiy son ham 5 raqami yoki 0 raqami bilan tugaydi, ya'ni m soni qoldiqsiz 5 ga bo'linadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar m soni 5 ga bo'linadigan bo'lsa, unda biz bir nechta tabiiy k sonini olamiz. Bu m \u003d 5k degan ma'noni anglatadi.

Endi qarang:

Birinchi tenglikda m uchun 5k o'rnini almashtiring:

(5k) 2 \u003d 5n2, ya'ni 25k2 \u003d 5n2 yoki n2 \u003d 5k2.

Oxirgi tenglik raqamni anglatadi. 5n2 qoldiqsiz 5 ga bo'linadi. Yuqoridagi kabi bahslashib, n soni 5 ga bo'linmasdan, degan xulosaga kelamiz qoldiq.

Shunday qilib, m 5 ga, n 5 ga bo'linadi, shuning uchun kasrni bekor qilish mumkin (5 ga). Ammo biz fraktsiyani qaytarib bo'lmaydigan deb taxmin qildik. Nima bo'ldi? Nega biz to'g'ri bahslashib, bema'ni narsaga keldik yoki matematiklar tez-tez aytganidek, biz ziddiyatga duch keldik "! Ha, chunki boshlang'ich shart noto'g'ri edi, go'yo tenglik uchun shunday kamaytirilmaydigan kasr bor ).

Agar to'g'ri fikrlash natijasida biz shart bilan qarama-qarshilikka duch kelsak, unda biz quyidagicha xulosa qilamiz: bizning taxminimiz noto'g'ri, demak, isbotlanishi kerak bo'lgan narsa haqiqatdir.

Shunday qilib, faqat ratsional sonlar (va biz boshqa raqamlarni hali bilmaymiz), x2 \u003d 5 tenglamani echib bo'lmaydi.

Bunday vaziyat bilan birinchi marta uchrashgan matematiklar uni matematik tilda tasvirlash usulini o'ylab topishlari kerakligini angladilar. Ular yangi belgini hisobga olishdi, uni kvadrat ildiz deb atashdi va ushbu belgi yordamida x2 \u003d 5 tenglamaning ildizlari quyidagicha yozildi: ). Endi har qanday tenglama uchun x2 \u003d a, bu erda a\u003e 0, siz ildizlarni topishingiz mumkin - ular raqamlar https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg "alt \u003d" (! LANG: .jpg" width="32" height="31">!} butun emas va kasr emas.
Bu shuni anglatadiki, bu ratsional son emas, bu yangi tabiat, biz bunday raqamlar haqida keyinroq, 5-bobda gaplashamiz.
Hozircha yangi raqam 2 dan 3 gacha ekanligini unutmang, chunki 22 \u003d 4, bu 5 dan kam; Z2 \u003d 9, bu 5 dan ortiq. Siz quyidagilarni belgilashingiz mumkin:

Qayta e'tibor bering: jadvalda faqat ijobiy raqamlar paydo bo'ladi, chunki bu kvadrat ildizning ta'rifida ko'rsatilgan. Va, masalan, \u003d 25 haqiqiy tenglik bo'lsa ham, undan kvadrat ildiz yordamida yozuvga o'ting (ya'ni buni yozing.) .jpg "alt \u003d" (! LANG: .jpg" width="42" height="30">!} ijobiy raqam, shuning uchun https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg "alt \u003d" (! LANG: .jpg" width="35" height="28">!} ... Faqatgina 4 dan ortiq, ammo 5 dan kam ekanligi aniq, chunki 42 \u003d 16 (bu 17 dan kam) va 52 \u003d 25 (bu 17 dan katta).
Biroq, raqamning taxminiy qiymatidan foydalanib topish mumkin mikrokalkulyator, bu kvadrat ildizni ajratib olish operatsiyasini o'z ichiga oladi; bu qiymat 4.123 ga teng.

Raqam, yuqorida ko'rib chiqilgan raqam kabi, oqilona emas.
e) hisoblash mumkin emas, chunki manfiy sonning kvadrat ildizi mavjud emas; yozuvning ma'nosi yo'q. Tavsiya etilgan vazifa noto'g'ri.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg "alt \u003d" (! LANG: Assignment" width="80" height="33 id=">!} chunki 75\u003e 0 va 752 \u003d 5625.

Eng oddiy holatlarda kvadrat ildiz darhol hisoblab chiqiladi:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg "alt \u003d" (! LANG: Quest" width="65" height="42 id=">!}
Qaror.
Birinchi bosqich. Javob "quyruq" bilan 50 ga teng bo'lishini taxmin qilish oson. Darhaqiqat, 502 \u003d 2500 va 602 \u003d 3600, 2809 esa 2500 va 3600 orasida.

X 2 \u003d 4 tenglamani ko'rib chiqing. Uni grafik usulda eching. Buning uchun bitta koordinatalar tizimida y \u003d x 2 parabola va y \u003d 4 to'g'ri chiziq quramiz (74-rasm). Ular ikkita A (- 2; 4) va B (2; 4) nuqtalarda kesishadi. A va B nuqtalarning abstsissalari x 2 \u003d 4 tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Demak, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Xuddi shu tarzda bahslashib, x 2 \u003d 9 tenglamaning ildizlarini topamiz (74-rasmga qarang): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Endi x 2 \u003d 5 tenglamani echishga harakat qilaylik; geometrik illyustratsiya shakl. 75. Ushbu tenglama ikkita x 1 va x 2 ildizlarga ega ekanligi ravshanki, bu raqamlar avvalgi ikkita holatda bo'lgani kabi, mutlaq qiymatda teng va (x 1 - - x 2) belgisiga qarama-qarshi - Ammo oldingi holatlardan farqli o'laroq , bu erda tenglamaning ildizlari qiyinchiliksiz topilgan (va ularni grafiklardan foydalanmasdan topish mumkin edi), bu x 2 \u003d 5 tenglamada bunday emas: chizilgan rasmga ko'ra biz ildizlarning qiymatlarini ko'rsatolmaymiz, faqat bitta ildiz chap tomonda bir oz joylashganligini aniqlashimiz mumkin. nuqta - 2, ikkinchisi - biroz o'ngga

ochkolar 2.

2-banddan biroz o'ng tomonda joylashgan va kvadrat ichida 5 ga teng bo'lgan bu raqam (nuqta) nima? Bu 3 emasligi aniq, chunki 3 2 \u003d 9, ya'ni kerak bo'lgandan ko'proq chiqadi (9\u003e 5).

Bu shuni anglatadiki, biz uchun qiziqish soni 2 va 3 raqamlari orasida joylashgan. Ammo 2 va 3 raqamlari orasida cheksiz ratsional sonlar to'plami mavjud, masalan va hokazo .. Balki ular orasida shunday kasr bor, nima? Shunda x 2 - 5 tenglamada hech qanday muammo bo'lmaydi, biz buni yozishimiz mumkin

Ammo biz bu erda yoqimsiz kutilmagan hodisani kutmoqdamiz. Aniqlanishicha, tenglik saqlanadigan bunday kasr yo'q
Formulyatsiya qilingan bayonotning isboti juda qiyin. Shunga qaramay, biz uni chiroyli va ibratli bo'lgani uchun taqdim etamiz va uni tushunishga harakat qilish juda foydali.

Faraz qilaylik, tenglikni ushlab turadigan shunday kamaytirilmaydigan kasr bor. Keyin, ya'ni m 2 \u003d 5n 2. Oxirgi tenglik m 2 natural sonining qoldiqsiz 5 ga bo'linishini bildiradi (biz n2 ni olamiz).

Shuning uchun m 2 raqami yoki 5-raqamda yoki 0-raqamda tugaydi, ammo keyinchalik m natural son ham 5-raqamda yoki 0-raqamda tugaydi, ya'ni. m soni qoldiqsiz 5 ga bo'linadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar m soni 5 ga bo'linadigan bo'lsa, unda biz bir nechta tabiiy k sonini olamiz. Bu degani,
m \u003d 5k.
Endi qarang:
m 2 \u003d 5n 2;
Birinchi tenglikda m uchun 5k o'rnini almashtiring:

(5k) 2 \u003d 5n 2, ya'ni 25k 2 \u003d 5n 2 yoki n 2 \u003d 5k 2.
Oxirgi tenglik raqamni anglatadi. 5n 2 qoldiqsiz 5 ga bo'linadi. Yuqoridagi kabi bahslashib, n soni qoldiqsiz 5 ga bo'linadi degan xulosaga keldik.
Shunday qilib, m 5 ga, n 5 ga bo'linadi, shuning uchun kasrni bekor qilish mumkin (5 ga). Ammo biz fraktsiyani qaytarib bo'lmaydigan deb taxmin qildik. Nima bo'ldi? Nega biz to'g'ri bahslashib, bema'ni narsaga keldik yoki matematiklar tez-tez aytganidek, bizda ziddiyat paydo bo'ldi! ”Ha, chunki boshlang'ich asos noto'g'ri edi, go'yo tenglik uchun shunday kamaytirilmaydigan kasr bor edi
Shuning uchun biz xulosa qilamiz: bunday kasr yo'q.
Biz hozirda qo'llagan isbotlash usuli matematikada qarama-qarshilik bilan isbotlash usuli deb ataladi. Uning mohiyati quyidagicha. Biz biron bir gapni isbotlashimiz kerak va biz uni ushlab turmaymiz deb o'ylaymiz (matematiklar: "teskarisini faraz qiling" - "yoqimsiz" ma'nosida emas, balki "talab qilinadigan narsaning teskarisi" ma'nosida).
Agar to'g'ri fikrlash natijasida biz shart bilan qarama-qarshilikka duch kelsak, unda biz quyidagicha xulosa qilamiz: bizning taxminimiz noto'g'ri, demak, isbotlanishi kerak bo'lgan narsa haqiqatdir.

Shunday qilib, faqat ratsional sonlarga ega bo'lgan (va biz boshqa raqamlarni hali bilmaymiz), biz x 2 \u003d 5 tenglamani echib bo'lmaydi.
Bunday vaziyat bilan birinchi marta uchrashgan matematiklar buni matematik tilda tavsiflash usulini o'ylab topishlari kerakligini angladilar. Ular yangi belgini hisobga olishdi, uni kvadrat ildiz deb atashdi va ushbu belgi yordamida x 2 \u003d 5 tenglamaning ildizlari quyidagicha yozildi:

o'qing: "kvadratning ildizi 5"). Endi x 2 \u003d a shaklidagi har qanday tenglama uchun bu erda a\u003e 0, siz ildizlarni topishingiz mumkin - ular raqamlar , (76-rasm).

Shuni ham ta'kidlaylikki, raqam butun emas va kasr emas.
Bu shuni anglatadiki, bu ratsional son emas, bu yangi tabiat, biz bunday raqamlar haqida keyinroq, 5-bobda gaplashamiz.
Hozircha yangi raqam 2 dan 3 gacha ekanligini unutmang, chunki 2 2 \u003d 4, bu 5 dan kam; Z 2 \u003d 9, bu 5 dan ortiq. Siz quyidagilarni belgilashingiz mumkin:

Darhaqiqat, 2.2 2 \u003d 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 > 5. Siz hali ham qila olasiz
belgilang:

haqiqatan ham, 2.23 2 \u003d 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Amalda odatda bu raqam 2.23 ga teng yoki u 2.24 ga teng deb taxmin qilinadi, faqat bu oddiy tenglik emas, balki taxminiy tenglik uchun belgi ishlatilgan. "
Shunday qilib,

X 2 \u003d a tenglamaning echimini muhokama qilishda biz matematikaning odatdagi holatiga duch keldik. Nostandart, g'ayritabiiy (astronavtlar aytganidek) holatga kirishish va ma'lum vositalar yordamida undan chiqish yo'lini topmaslik, matematiklar birinchi duch kelgan matematik model uchun yangi atama va yangi belgi (yangi belgi) bilan chiqishadi; boshqacha qilib aytganda, ular yangi kontseptsiyani kiritadilar, so'ngra buning xususiyatlarini o'rganadilar
tushunchalar. Shunday qilib, yangi tushuncha va uni belgilash matematik tilning xususiyatiga aylanadi. Biz xuddi shu tarzda harakat qildik: biz "a sonining kvadrat ildizi" atamasini kiritdik, uni belgilaydigan belgini kiritdik va birozdan keyin biz yangi kontseptsiyaning xususiyatlarini o'rganamiz. Hozircha biz faqat bitta narsani bilamiz: agar\u003e 0 bo'lsa,
u holda x 2 \u003d a tenglamani qondiradigan musbat son. Boshqacha qilib aytganda, bu shunday musbat son, kvadratga tortilganda a raqami olinadi.
X 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi x \u003d 0 bo'lganligi sababli, biz buni qabul qilishga rozi bo'ldik
Endi biz qat'iy ta'rif berishga tayyormiz.
Ta'rif. Salbiy bo'lmagan a sonining kvadrat ildizi - bu kvadrat tenglami a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son.

Ushbu raqam belgilanadi va shu bilan birga radikal raqam deb nomlanadi.
Shunday qilib, agar a manfiy bo'lmagan son bo'lsa, unda:

Agar a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Shunday qilib, ifoda faqat\u003e 0 uchun mantiqiy bo'ladi.
Ular shunday deyishadi - bir xil matematik model (manfiy bo'lmagan sonlar orasidagi bir xil bog'liqlik
(a va b), lekin ikkinchisi faqat birinchisiga qaraganda sodda tilda tavsiflanadi (oddiyroq belgilar ishlatiladi).

Salbiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizini topish amaliga kvadrat ildiz deyiladi. Ushbu operatsiyani bajarish kvadratning teskarisidir. Taqqoslang:

Qayta e'tibor bering: jadvalda faqat ijobiy raqamlar paydo bo'ladi, chunki bu kvadrat ildizning ta'rifida ko'rsatilgan. Va, masalan, (- 5) 2 \u003d 25 haqiqiy tenglik bo'lsa ham, undan kvadrat ildiz yordamida yozuvga o'ting (ya'ni buni yozing).
bu mumkin emas. Ta'rifga ko'ra,. Ijobiy raqam, demak .
Ko'pincha "kvadrat ildiz" emas, "arifmetik kvadrat ildiz" deyiladi. Qisqartirish uchun "arifmetik" atamasini qoldiramiz.

D) Oldingi misollardan farqli o'laroq, biz raqamning aniq ma'nosini ko'rsatolmaymiz. Faqatgina u 4 dan oshiq, ammo 5 dan kam ekanligi aniq

4 2 \u003d 16 (bu 17 dan kam) va 5 2 \u003d 25 (bu 17 dan katta).
Shu bilan birga, raqamning taxminiy qiymatini kvadrat ildizni ajratib olish operatsiyasini o'z ichiga olgan mikrokalkulyator yordamida topish mumkin; bu qiymat 4.123 ga teng.
Shunday qilib,
Raqam, yuqorida ko'rib chiqilgan raqam kabi, oqilona emas.
e) hisoblash mumkin emas, chunki manfiy sonning kvadrat ildizi mavjud emas; yozuvning ma'nosi yo'q. Tavsiya etilgan vazifa noto'g'ri.
f), chunki 31\u003e 0 va 31 2 \u003d 961. Bunday hollarda siz natural sonlar kvadratlari jadvali yoki mikrokalkulyatordan foydalanishingiz kerak.
g), chunki 75\u003e 0 va 75 2 \u003d 5625.
Eng sodda holatlarda kvadrat ildizning qiymati darhol hisoblab chiqiladi: va hokazo. Keyinchalik murakkab holatlarda siz raqamlar kvadratlari jadvalidan foydalanishingiz yoki mikrokalkulyator yordamida hisob-kitoblarni bajarishingiz kerak. Ammo qo'lingizda stol yoki kalkulyator bo'lmasa nima bo'ladi? Keling, ushbu savolga quyidagi misolni echish orqali javob beramiz.

2-misol. Hisoblang
Qaror.
Birinchi bosqich. Javob "quyruq" bilan 50 ga teng bo'lishini taxmin qilish oson. Darhaqiqat, 50 2 \u003d 2500 va 60 2 \u003d 3600, 2809 esa 2500 va 3600 orasida.

Ikkinchi bosqich. Keling, "quyruq" ni topamiz, ya'ni. kerakli raqamning oxirgi raqami. Agar biz ildiz chiqarilsa, unda javob 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 yoki 59 bo'lishi mumkinligini bilamiz. Biz faqat ikkita raqamni tekshirishimiz kerak: 53 va 57, chunki faqat ular beradi Natijada 9 bilan tugaydigan to'rt xonali raqam, ya'ni 2809 bilan tugaydigan bir xil raqam.
Bizda 532 \u003d 2809 - bizga kerak bo'lgan narsa (biz omadli edik, darhol buqaning ko'ziga urdik). Demak, \u003d 53.
Javob:

53
3-misol. To‘g‘ri burchakli uchburchakning oyoqlari 1 sm va 2 sm.Uchburchakning gipotenuzasi nima? (rasm 77)

Qaror.

Biz geometriyadan ma'lum bo'lgan Pifagor teoremasidan foydalanamiz: to'rtburchaklar uchburchak oyoqlari kvadratlari yig'indisi uning gipotenuzasi uzunligining kvadratiga teng, ya'ni a 2 + b 2 \u003d c 2, bu erda a, b oyoqlar, c to'g'ri uchburchakning gipotenusi.

Shuning uchun,

Ushbu misol kvadrat ildizlarni kiritish matematiklarning injiqligi emas, balki ob'ektiv zarurat ekanligini ko'rsatadi: real hayotda shunday holatlar mavjudki, ularning matematik modellarida kvadrat ildizni chiqarib olish jarayoni mavjud. Ehtimol, ushbu holatlarning eng muhimi o'z ichiga oladi
kvadrat tenglamalarni yechish. Shu paytgacha ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglamalari bilan uchrashganda biz chap tomonni (har doimgidan ham iloji bo'lmagan) faktorizatsiya qildik yoki grafik usullarni qo'lladik (bu ham unchalik ishonchli emas, chiroyli bo'lsa ham). Aslida, topish
matematikada ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari, formulalaridan foydalaniladi

o'zingiz ko'rib turganingizdek kvadrat ildiz belgisini o'z ichiga olgan ushbu formulalar amalda quyidagi tarzda qo'llaniladi. Masalan, 2x 2 + bx - 7 \u003d 0 tenglamasini echish kerak bo'lsin. Bu erda a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Shuning uchun,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2018-04-02 121 2. (- 7) \u003d 81. Keyin, biz topamiz. Shuning uchun,

Yuqorida biz bu mantiqiy raqam emasligini ta'kidladik.
Matematiklar bunday raqamlarni mantiqsiz deb atashadi. Agar kvadrat ildiz chiqarilmasa, formaning istalgan soni mantiqsizdir. Masalan, va hokazo. - mantiqsiz raqamlar. 5-bobda biz ratsional va irratsional sonlarni batafsil ko'rib chiqamiz. Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar to'plamini tashkil qiladi, ya'ni. biz haqiqiy hayotda ishlaydigan raqamlarning barchasi (aslida,
nosti). Masalan, bularning barchasi haqiqiy sonlar.
Yuqorida biz kvadrat ildiz tushunchasini aniqlaganimiz kabi, kubik ildiz tushunchasini ham belgilashimiz mumkin: manfiy bo'lmagan a sonining kub ildizi, uning kubi a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son. Boshqacha qilib aytganda, tenglik b 3 \u003d a degan ma'noni anglatadi.

Bularning barchasini 11-sinf algebra kursida o'rganamiz.

Kvadrat er uchastkasining maydoni 81 dm². Uning tomonini toping. Deylik, kvadratning yon tomoni uzunligi x desimetr. Keyin saytning maydoni x² kvadrat dekimetr. Chunki, shartli ravishda, bu maydon 81 dm² ni tashkil qiladi x² \u003d 81. Kvadrat tomonining uzunligi musbat son. Kvadratchasi 81 ga teng bo'lgan musbat son - bu 9 raqami. Masalani echishda kvadrati 81 bo'lgan x sonini topish kerak edi, ya'ni tenglamani echish x² \u003d 81. Ushbu tenglama ikkita ildizga ega: x 1 \u003d 9 va x 2 \u003d - 9, chunki 9² \u003d 81 va (- 9) ² \u003d 81. Ikkala 9 va - 9 raqamlar 81 ning kvadrat ildizlari deyiladi.

Kvadrat ildizlardan biri ekanligini unutmang x \u003d 9 ijobiy raqam. U 81 ning arifmetik kvadratik ildizi deb nomlanadi va -81 bilan belgilanadi, shuning uchun -81 \u003d 9.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi va bu kvadrat manfiy bo'lmagan son va.

Masalan, 6 va - 6 - bu 36 ning kvadrat ildizlari. Bu holda, 6 - 36 ning arifmetik kvadratik ildizi, chunki 6 - manfiy bo'lmagan son va 6² \u003d 36. - 6 - arifmetik ildiz emas.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi va quyidagicha belgilanadi: √ va.

Belgiga arifmetik kvadrat ildiz belgisi deyiladi; va - radikal ifoda deyiladi. Izoh √ vao'qing shunday: sonning arifmetik kvadrat ildizi va. Masalan, -36 \u003d 6, -0 \u003d 0, -0.49 \u003d 0.7. Arifmetik ildiz haqida gap ketayotgani aniq bo'lgan hollarda, ular qisqacha shunday deyishadi: "kvadrat ildiz va«.

Sonning kvadrat ildizini topish harakati kvadrat ildiz chiqarib olish deyiladi. Ushbu harakat kvadratning teskari tomonidir.

Har qanday sonni kvadratga aylantirish mumkin, lekin har bir son kvadrat ildizga aylanishi mumkin emas. Masalan, siz raqamning kvadrat ildizini ajratib ololmaysiz - 4. Agar shunday ildiz mavjud bo'lsa, unda uni harf bilan belgilang x, biz noto'g'ri x2 \u003d - 4 tenglikni olamiz, chunki chapda manfiy bo'lmagan raqam, o'ngda esa salbiy raqam mavjud.

Izoh √ vafaqat qachon ma'noga ega a ≥0. Kvadrat ildizning ta'rifini qisqacha quyidagicha yozish mumkin: √ a ≥0, (√va)² = va... Tenglik (√ va)² = vauchun amal qiladi a ≥0. Shunday qilib, manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi ekanligiga ishonch hosil qilish uchun va tengdir b, ya'ni √ va =b, quyidagi ikkita shart bajarilganligini tekshirishingiz kerak: b ≥0, b² = va.

Fraktsiyaning kvadrat ildizi

Keling, hisoblab chiqamiz. -25 \u003d 5, -36 \u003d 6 ekanligini unutmang va tenglik mavjudligini tekshiring.

Chunki va, keyin tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, .

Teorema: Agar a va ≥ 0 va b \u003e 0, ya'ni kasrning ildizi, ajratuvchining ildiziga bo'linadigan sonning ildiziga teng. Buni isbotlash talab qilinadi: va .

√ dan beri va ≥0 va √ b \u003e 0, keyin.

Kasrni darajaga ko'tarish xususiyati va kvadrat ildizning ta'rifi bo'yicha teorema isbotlangan. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Tasdiqlangan teorema bo'yicha hisoblang .

Ikkinchi misol: buni isbotlang , agar a va ≤ 0, b < 0. .

Yana bir misol: Hisoblang.

Kvadrat ildizlarni konvertatsiya qilish

Ildiz belgisidan omilni olib tashlash. Ifoda berilsin. Agar a va ≥ 0 va b ≥ 0, keyin mahsulotning asosiy teoremasi bo'yicha biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Bunday transformatsiya ildiz belgisidan omil olish deb ataladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik;

Hisoblang x \u003d 2. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish x \u003d 2 radikal ifodaga murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Dastlab ildiz belgisidan omillarni olib tashlash orqali ushbu hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin:. Endi x \u003d 2 o'rnini egallab, quyidagicha olamiz.

Shunday qilib, omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlashda, radikal ifoda bir yoki bir nechta omillar manfiy bo'lmagan sonlarning kvadratlari bo'lgan mahsulot shaklida taqdim etiladi. Keyin mahsulotning ildiz teoremasi qo'llaniladi va har bir omilning ildizi olinadi. Bir misolni ko'rib chiqing: A \u003d -8 + -18 - 4√2 ifodani dastlabki ikkita davrda ildiz belgisidan omillarni olib tashlash orqali soddalashtiring, quyidagicha olamiz:. Biz tenglik ekanligini ta'kidlaymiz faqat uchun amal qiladi va ≥ 0 va b ≥ 0. agar va < 0, то .

Men yana belgiga qaradim ... Va boraylik!

Oddiy bilan boshlaymiz:

Bir daqiqa. bu shuni anglatadiki, biz shunday yozishimiz mumkin:

Tushundim? Mana siz uchun keyingisi:

Olingan sonlarning ildizlari aniq chiqarilmaganmi? Bu muhim emas - ba'zi bir misollar:

Ammo omillar ikki emas, balki ko'proq bo'lsa-chi? Bir xil! Ildizni ko'paytirish formulasi har qanday sonli omil bilan ishlaydi:

Endi butunlay o'zim:

Javoblar:Barakalla! Qabul qiling, hamma narsa juda oson, asosiysi ko'payish jadvalini bilish!

Ildizlarning bo'linishi

Ildizlarni ko'paytirishni aniqladik, endi bo'linish xususiyatiga o'tamiz.

Sizga eslatib qo'yamanki, formulalar umuman quyidagicha ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki qismning ildizi ildizlarning qismiga teng.

Keling, buni misollar bilan aniqlaymiz:

Bu hamma fan. Mana bir misol:

Hamma narsa birinchi misoldagidek silliq emas, lekin, ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q.

Ammo shunga o'xshash ibora uchrasa nima bo'ladi:

Siz faqat formulani teskari yo'nalishda qo'llashingiz kerak:

Va bu erda bir misol:

Siz ushbu iborani uchratishingiz mumkin:

Hammasi bir xil, faqat shu erda siz kasrlarni qanday tarjima qilishni eslashingiz kerak (agar eslamasangiz, mavzuni ko'rib chiqing va qaytib keling!). Yodingizdami? Endi biz qaror qilamiz!

Ishonchim komilki, siz hamma narsaga, hamma narsaga dosh berdingiz, endi ildizlarni darajalarda o'rnatishga harakat qilaylik.

Ko'rsatkich

Agar kvadrat ildiz kvadratga aylansa nima bo'ladi? Bu oddiy, raqamning kvadrat ildizi ma'nosini eslaylik - bu kvadrat ildizi bo'lgan son.

Xo'sh, kvadrat ildizi kvadratga teng bo'lgan sonni ko'paytirsak, nima olamiz?

Xo'sh, albatta!

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Bu oddiy, to'g'rimi? Va agar ildiz boshqa darajada bo'lsa? Hech narsa yomon!

Xuddi shu mantiqqa rioya qiling va xususiyatlarni va mumkin bo'lgan harakatlarni darajalar bilan eslang.

"" Mavzusidagi nazariyani o'qing, shunda hammasi siz uchun juda aniq bo'ladi.

Masalan, mana bu ibora:

Ushbu misolda daraja juft, ammo agar u toq bo'lsa-chi? Shunga qaramay, quvvat xususiyatlarini qo'llang va hamma narsani hisobga oling:

Bu bilan hamma narsa aniq ko'rinadi, ammo raqamning ildizini kuchga qanday chiqarish mumkin? Masalan, bu:

Juda sodda, to'g'rimi? Agar daraja ikkitadan ko'p bo'lsa? Daraja xususiyatlaridan foydalangan holda biz bir xil mantiqqa amal qilamiz:

Xo'sh, hamma narsa aniqmi? Keyin misollarni o'zingiz hal qiling:

Va bu erda javoblar:

Ildiz belgisi ostida kirish

Ildiz bilan nima qilishni o'rganmadik! Raqamni ildiz belgisi ostiga kiritishni mashq qilish kifoya!

Bu oson!

Aytaylik, bizda raqam bor

U bilan nima qilishimiz mumkin? Xullas, albatta, uchtasi kvadrat ildiz ekanligini yodda tutib, uchtasini ildiz ostiga yashiring!

Buning nima keragi bor? Ha, misollarni echishda o'z imkoniyatlarimizni kengaytirish uchun:

Ildizlarning bu xususiyati sizga qanday yoqadi? Bu hayotni ancha osonlashtiradimi? Men uchun bu to'g'ri! Faqat shuni yodda tutishimiz kerakki, biz faqat kvadrat ildiz belgisi ostida musbat sonlarni kiritishimiz mumkin.

Ushbu misolni o'zingiz hal qiling -
Siz uddaladingizmi? Keling, nima olish kerakligini bilib olaylik:

Barakalla! Siz raqamni ildiz belgisi ostiga kiritishga muvaffaq bo'ldingiz! Keling, bir xil ahamiyatga ega bo'lgan narsaga o'tamiz - kvadrat ildizni o'z ichiga olgan raqamlarni qanday taqqoslashni ko'rib chiqamiz!

Ildizlarni taqqoslash

Kvadrat ildizi bo'lgan raqamlarni taqqoslashni nima uchun o'rganishimiz kerak?

Juda oddiy. Ko'pincha, imtihonda uchraydigan katta va uzun iboralarda biz mantiqsiz javob olamiz (nima ekanligini eslaysizmi? Biz bugun bu haqda gaplashdik!)

Qabul qilingan javoblarni koordinata chizig'iga joylashtirishimiz kerak, masalan, tenglamani echish uchun qaysi oraliq mos kelishini aniqlash uchun. Va bu erda shov-shuv paydo bo'ladi: imtihonda kalkulyator yo'q va u holda qaysi raqam katta va qaysi biri kamligini qanday tasavvur qilish mumkin? Bu shunchaki!

Masalan, qaysi biri kattaroq ekanligini aniqlang: yoki?

Haloldan aniq bilib olmadingiz. Xo'sh, ildiz belgisi ostida raqamni kiritishning tahlil qilingan xususiyatidan foydalanamiz?

Keyin davom eting:

Va, shubhasiz, ildiz belgisi ostidagi raqam qancha ko'p bo'lsa, ildizning o'zi shunchalik katta bo'ladi!

O'sha. agar, keyin ,.

Bundan qat'iy xulosa qilamiz. Va boshqa hech kim bizni ishontirmaydi!

Ko'p sonlardan ildizlarni ajratib olish

Bundan oldin biz omilni ildiz belgisi ostida kiritdik, ammo uni qanday chiqarish mumkin? Siz shunchaki uni faktor qilishingiz va qazib olingan narsani chiqarib olishingiz kerak!

Boshqa yo'lni bosib, boshqa omillarga ajralish mumkin edi:

Yomon emas, ha? Ushbu yondashuvlarning har biri to'g'ri, sizga eng mos keladigan narsaga qaror qiling.

Faktoring quyidagi kabi nostandart vazifalarni hal qilishda juda foydali:

Biz qo'rqmaymiz, lekin biz harakat qilamiz! Ildiz ostidagi har bir omilni alohida omillarga ajratamiz:

Endi o'zingizni sinab ko'ring (kalkulyatorsiz! Bu imtihonda bo'lmaydi):

Bu oxirmi? Yarim yo'lda to'xtamang!

Hammasi shu qadar qo'rqinchli emas, to'g'rimi?

Bo'ldi? Ofarin, to'g'ri!

Endi ushbu misolni echishga harakat qiling:

Va misol - bu qattiq yong'oqni yorish, shuning uchun unga qanday murojaat qilishni bilolmaysan. Ammo biz, albatta, bunga qarshi tura olamiz.

Xo'sh, faktoringni boshlaymizmi? Raqamni quyidagicha ajratishingiz mumkinligiga e'tibor bering (bo'linish mezonlarini eslang):

Endi, o'zingizni sinab ko'ring (yana, kalkulyatorsiz!):

Xo'sh, nima bo'ldi? Ofarin, to'g'ri!

Xulosa qilaylik

Salbiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi (arifmetik kvadrat ildizi) - bu kvadrat teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son.
.
Agar biz biron bir narsaning kvadrat ildizini olsak, biz doimo bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishamiz.
Arifmetik ildiz xususiyatlari:
Kvadrat ildizlarni taqqoslaganda, shuni esda tutish kerakki, ildiz belgisi ostidagi raqam qancha ko'p bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi.

Kvadrat ildiz sizga qanday yoqadi? Hammasi tushunarli?

Sizga kvadrat ildiz imtihonida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani suvsiz tushuntirishga harakat qildik.

Endi seni navbating. Siz uchun qiyin mavzu yoki yo'qligini bizga yozing.

Siz yangi narsani bilib oldingizmi yoki hamma narsa allaqachon aniq edi.

Izohlarda yozing va imtihonlaringizga omad tilaymiz!